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应用拉格朗日中值公式证明下列不等式
应用拉格朗日中值公式证明下列不等式求证第三题(3)
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推荐答案 2018-05-04
解:由拉格朗日中值定理:对于函数y=lnx,x∈(a,b),必存在ξ∈(a,b)使得f'(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a)=(lnb-lna)/(b-a)成立又因为ξ∈(a,b),f'(x)=1/x,且0<a<b故f'(ξ)∈(1/b,1/a)故有:1/b<(lnb-lna)/(b-a)<1/a成立即:(b-a)/b<ln(b/a)<(b-a)/a成立由此得证
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怎么
用拉格朗日中值
定理
证明不等式
?
答:
根据
拉格朗日中值
定理 ln(x+1)=ln[x(x+1)]-lnx =ln'e[x(x+1)-x] ① x<e<x(x+1) ② 1/x(x+1)<ln'e=1/e<1/x //根据e倒数 - 改变②
不等式
不等式两边同乘以[x(x+1)-x]x/x+1< ln'e[x(x+1)-x]=ln(x+1)< x ...
运用拉格朗日中值
定理
证明不等式
(lnb-lna)/(b-a)>(2a)/(a^2+b^2...
答:
证明
:构造:f(x)=lnx,其中x∈(a,b)根据
拉格朗日中值
定理:(lnb-lna)/(b-a) = f'(ξ) = 1/ξ 1/ξ > 1/b 2a/(a²+b²) ≤2a/2ab=1/b 1/ξ >1/b≥2a/(a²+b²)(lnb-lna)/(b-a) >2a/(a²+b²)拉格朗日中值定理的性质:该定理...
利用拉格朗日中值
定理
证明不等式
答:
f(x)-f(0)=f'(ξ)×x,ξ∈(0,x).即arctanx=x/(1+ξ^2).1/(1+x^2)<1/(1+ξ^2)<1,所以,x/(1+x^2)<arctanx<x.2、取函数f(x)=lnx,x∈[a,b]f(b)-f(a)=f'(ξ)×(b-a).f'(ξ)=1/ξ∈(1/b,1/a),所以,(b-a)/b<lnb-lna<(b...
拉格朗日中值
定理如何
证明不等式
的
答:
显然,f'(u)=e^u>1 -> (f(b)-f(0))/(b-0)>1 -> f(b)>b+1 -> e^b>b+1 (2).第二个
不等式
可由(1)得出,下面证第一个不等式:设g(x)=(1+x)*ln(1+x)对任意b>0 根据
中值
定理,存在v,满足01 (g(b)-g(0))/(b-0)=(1+b)*ln(1+b)/b>1 -> ln(1+b)>b...
用拉格朗日中值
定理
证明不等式
答:
利用拉格朗日中值
定理
证明不等式
:当h>0时,h/(1+h^2)<arctan h<h。令f(x)=arctanx,则f'(x)=1/(1+x^2) 由拉格朗日中值定理有存在实数c,使得f(x)-f(x0)=f'(c)(x-x0) 再此取x0=0,则f(0)=0 应用上面的等式,便有arctanx=x/(1+c^2),其中...
用中值
定理
证明下列不等式
。
答:
1+t),(t>=0)显然,对∀x>0,f(t)在[0,x]内连续,在(0,x)上可导,则根据
拉格朗日中值
定理,存在k∈(0,x),使 f'(k)=[f(x)-f(0)]/(x-0)1/(1+k)=ln(1+x)/x ln(1+x)=x/(1+k)因为x/(1+x)<x/(1+k)<x/(1+0)=x 所以x/(1+x)<ln(1+x)<x ...
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