用拉格朗日中值定理证明下列不等式 a>b>0, (a-b)/a<ln(a/b)<(a-b)/b

Question

如题所述

Answer 1

在区间[b.a],f(x)=lnx满足定理条件.
知f'(x)=1/x.
用定理,知存在c: b<c<a
使:lna-lnb=(1/c)*(a-b)
即ln(a/b)=(a-b)/c
注意到条件:0<b<c<a,
有:(a-b)/a <(a-b)/c <(a-b)/b.
即有::(a-b)/a <ln(a/b) <(a-b)/b.