怎么用拉格朗日中值定理证明不等式？

Question

如题所述

Answer 1

用拉格朗日中值定理:f(b)-f(a)=f'(e)(b-a) ,a<e<b。
ln(x+1)=ln[x(x+1/x)] //尽量乘一个x除一个x,再把 ln 拆开
=ln[x(x+1)]-lnx
根据拉格朗日中值定理
ln(x+1)=ln[x(x+1)]-lnx =ln'e[x(x+1)-x] ①
x<e<x(x+1) ②
1/x(x+1)<ln'e=1/e<1/x //根据e倒数 - 改变②不等式
不等式两边同乘以[x(x+1)-x]
x/x+1< ln'e[x(x+1)-x]=ln(x+1)< x