具体回答如下:
证明:
构造:f(x)=lnx,其中x∈(a,b)
根据拉格朗日中值定理:
(lnb-lna)/(b-a) = f'(ξ) = 1/ξ
1/ξ > 1/b
2a/(a²+b²) ≤2a/2ab=1/b
1/ξ >1/b≥2a/(a²+b²)
(lnb-lna)/(b-a) >2a/(a²+b²)
拉格朗日中值定理的性质:
该定理给出了导函数连续的一个充分条件,必要性不成立,即函数在某点可导,不能推出导函数在该点连续,因为该点还可能是导函数的振荡间断点。
我们知道,函数在某一点的极限不一定等于该点处的函数值;但如果这个函数是某个函数的导函数,则只要这个函数在某点有极限,那么这个极限就等于函数在该点的取值。
由导数的定义可知,函数在某点可导的充要条件是函数在该点的左右导数相等,因此分别来研究左右导数。