利用拉格朗日中值定理证明不等式

Question

我数学分析书不在身边,谢谢啦

Answer 1

1、对于任意的x＞0，取函数f(t)＝arctant，t∈[0，x].

f(x)－f(0)＝f'(ξ)×x，ξ∈(0，x).

即arctanx＝x/(1＋ξ^2).

1/(1＋x^2)＜1/(1＋ξ^2)＜1，所以，x/(1＋x^2)＜arctanx＜x.

2、取函数f(x)＝lnx，x∈[a，b]

f(b)－f(a)＝f'(ξ)×(b－a).

f'(ξ)＝1/ξ∈(1/b，1/a)，所以，(b－a)/b＜lnb－lna＜(b－a)/a，即

(b－a)/b＜ln(b/a)＜(b－a)/a

3、设f(x)＝arctanx＋arccotx，x∈(－∞，＋∞).

f'(x)≡0，所以f(x)≡C（常数）.

又f(0)＝π/2，所以C＝π/2.

所以，arctanx＋arccotx＝π/2.