绝对值f（x）小于等于x的平方 证明f（x）在x=0可导

Question

如题所述

Answer 1

|f（x）|≤x²，即-x²≤f（x）≤x²
则-0²≤f（0）≤0²，所以f（0）=0
因为lim（x→0）x²=lim（x→0）（-x²）=0，
根据夹逼定理，lim（x→0）f（x）=0，所以f（x）在x=0点处连续。
在x=0点处的左导数=lim（x→0-）（f（x）-f（0））/x=lim（x→0-）f（x）/x
因为x＜0，-x²≤f（x）≤x²，所以-x²/x≥f（x）/x≥x²/x
而lim（x→0-）-x²/x=lim（x→0-）x²/x=0
根据夹逼定理，lim（x→0-）f（x）/x=0，即左导数=0
在x=0点处的右导数=lim（x→0+）（f（x）-f（0））/x=lim（x→0+）f（x）/x
因为x＞0，-x²≤f（x）≤x²，所以-x²/x≤f（x）/x≤x²/x
而lim（x→0+）-x²/x=lim（x→0+）x²/x=0
根据夹逼定理，lim（x→0+）f（x）/x=0，即右导数=0
f（x）在x=0点处的左右导数都等于0，所以f（x）在x=0点处的导数等于0。