讨论函数f(x)=e^-（x的绝对值）在点x=0处的连续性和可导性

Question

如题所述

Answer 1

讨论如下：
第①种方法：画草图
当x≥0时，f(x)=e^(-x)=1/e^x;
当x＜0时，f(x)=e^x；
这是一个分段函数，画出的大致图像如下所示：
所以，可以看出，该函数在x=0处及连续也可导。
第②种方法：
∵当x从﹢∞→0和x从﹣∞→0时，f(x)=0，且当x=0时，f(0)=0，即等于改点的函数值（左导数等于右导数且等于改点的函数值）
∴该函数在点x=0处可导，并且可到一定连续，
所以，该函数在x=0处既连续也可导。

Answer 2

连续性
先算左极限
当x→0-
时，lim
f(x)
=lim
-x
=
0
=f(0)
所以左连续
再算右极限
当x→0+
时，lim
f(x)=
llim
x
=
0
=f(0)
所以右连续
左右都连续
所以f(x)=|x|连续
所以在0处连续

Answer 3

只考虑
可导
，因为可导必连续，
f
‘（
x)右左=
+-1.那么不可导的，下面证明连续性，limf(x)左+=limf(x)右=f(0）=1
故函数在该点连续