试证明：当x不等于1时，e^x>ex

Question

如题所述

Answer 1

　　可用导数证明如下：
　　y=e^x-ex
　　y'=e^x-e
　　令y'=0,则有e^x=e,即x=1.
　　当x>1的时候，e^x>e,此时y为单调增函数。
　　当x<1的时候，e^x<e,此时y为单调减函数。
　　所以当x=1，是y的最小值，即：
　　y>y(1)=0
　　e^x-ex>0
　　e^x>ex,得证。

Answer 2

令f(x)=e^x-ex，其中x≠1
f'(x)=e^x-e
当x>1时，f'(x)>0，f(x)严格单调递增
当x<1时，f'(x)<0，f(x)严格单调递减
所以f(x)>lim(x->1)f(x)=0
即e^x>ex

Answer 3

(e^x)/e=e^(x-1)
当e^(x-1)-x=0时
x=1
当x>1时，e^(x-1)-x>0
当x<1时，e^(x-1)-x>0
所以当x不等于1时
e^(x-1)-x>0
e^x>ex