两个独立随机变量X∈[a,b] Y∈[c,d].X、Y概率密度已知且都是均匀分布,求Z=XY分布密度

Question

如题所述

Answer 1

首先

f(x,y)=1/(b-a)(d-c) (a<=x<=b；c<=y<=d)

        =0 else

Fz(z)=P(XY<=z)

(情况很多，特别是长方形落在1,2,3,4象限交界处的话极其麻烦,楼主你要是忘了说明a,b,c,d大於0请告诉我)

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先取简单情况

X,Y取值都在第一象限时

求P(XY<=z)

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在ad<=bc下(f(x,y)在横的长方形)

ac<=xy<=ad时

=∫(c~z/a)∫(a~z/y) f(x,y) dxdy

=∫(c~z/a) (z/y-a)/{(b-a)(d-c)} dy

={zlny-ay}/{(b-a)(d-c)} (c~z/a)

={z(ln(z/(ac))-a(z/a-c)}/{(b-a)(d-c)}

={zln(z)-ln(ac)z+ac-z}/{(b-a)(d-c)}

 ad<xy<=bc 时

=∫(c~d)∫(a~z/y) f(x,y) dxdy

=∫(c~d) (z/y-a)/{(b-a)(d-c)} dy

={ln(d/c)*z-a(d-c)}/{(b-a)(d-c)}

bc<xy<=bd时

=1-∫(z/b~d)∫(z/y~b) dxdy

=1-∫(z/b~d){b-z/y}/{(b-a)(d-c)}dy

=1- {by-zlny}/{(b-a)(d-c)}  (z/b~d)

=1- {b(d-z/b)-zln(db/z)}/{(b-a)(d-c)}

=1-{bd-z-zln(db)+zln(z)}/{(b-a)(d-c)}

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在bc<=ad下(f(x,y)在纵的长方形)

ac<=xy<=bc时

=∫(a~z/c)∫(c~z/y) f(x,y) dydx

={zln(z)-ln(ac)z+ac-z}/{(b-a)(d-c)}

 bc<xy<=ad时

=∫(a~b)∫(c~z/x)f(x,y)dydx

={ln(b/a)*z-c(b-a)}/{(b-a)(d-c)}

 ad<xy<=bd时

=1-∫(z/d~b)∫(z/x~d)dydx

=1-{bd-z-zln(db)+zln(z)}/{(b-a)(d-c)}

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总之就是中间那块不同而已

都求导

fz(z)={ln(z)-ln(ac)}/{(b-a)(d-c)} (ac<=z<=ad 且 ac<=z<=bc)

       ={ln(z)-ln(bd)}/{(b-a)(d-c)} (ad<z<=bd且 bc<z<=bd)

       ={ln(d/c)}/{(b-a)(d-c)} (ad<z<=bc, 要求bc>=ad)

       ={ln(b/a)}/{(b-a)(d-c)} (bc<z<=ad, 要求ad>=bc)

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以上只是f(x,y)落在第一象限的情况

正方形落区有9种情况，

其中4种为两两(中心)对称的做出一个就有另一个(互换(a,c) 和(b,d)即可)

(0<a<b;0<c<d)对应(a<b<0;c<d<0)

(0<a<b,c<d<0)对应(a<b<0;0<c<d)

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还有四个跨在轴上

(a<0<b,c<d<0)

可互换c,d得到另一个

(a<0<b,0<c<d)

(0<a<b,c<0<d)

可互换a,b得到另一个

(a<b<0,c<0<d)

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还有一种是四象限都占有(a<0<b;c<0<d)