两个独立随机变量X、Y概率密度已知且都是均匀分布,求Z=XY分布

Question

如果是正态分布呢？

Answer 1

设x服从[a,b]的均匀分布

f(x)=1/(b-a), x∈[a,b]
0 , 其他

设y服从[c,d]的均匀分布

f(y)=1/(d-c), y∈[c,d]
0 , 其他

所以f(xy)=f(x)f(y)=1/[(b-a)(d-c)]，x∈[a,b]，y∈[c,d]
0 ，其他

正态分布也是一样算的。
f(xy)=f(x)f(y)=[1/(2πδ1δ2)]e^[-(x-u1)^2/2δ1-(x-u2)^2/2δ2]追问

所以f(xy)=f(x)f(y)=1/[(b-a)(d-c)]，x∈[a,b]，y∈[c,d]
0 ，其他
意思是z=XY也服从均匀分布？ 而z的范围是[ac,bd],将1/[(b-a)(d-c)]从ac积分到bd的概率不等于1哎

追答

靠，看错了，我再想想，让我把联合分布律弄混了。

追问

嗯嗯

追答

你好，我想过了。这个要具体问题具体分析。

而且最好x, 和y要在正区间上，满足均匀分布，就是a,b,c,d都大于0。否则讨论起来真的很麻烦。

那个联合概率密度已经求出来了

f(x,y)=f(x)f(y)=1/[(b-a)(d-c)]，x∈[a,b]，y∈[c,d]
                                     0  ，其他

然后

根据F(z)=P(xy<z)

图中那条曲线就是xy=z

P(xy<z)实际上是求它与矩形所围成的下侧面积。

分两种不同情况。要具体问题具体分析。

若ad<bc, 此时矩形是个水平的长方形。

分五中情况，非别积分。求曲线和矩形abcd所围成的下侧面积，然后乘以1/[(b-a)(d-c)]，就是

F(z)=P(xy<z)

z<ac，F(z)=0

ac<z<=ad，所围成区域为曲边三角形

ad<z<=bc，围城曲边梯形

bc<z<=cd，围城曲边五边形

z>cd , F(z)=1 

另外一种ad>bc的情况，此时是一个竖直的长方形。

分五中情况，分别积分。求曲线和矩形abcd所围成的下侧面积，然后乘以1/[(b-a)(d-c)]，就是F(z)=P(xy<z)

z<ac，F(z)=0

ac<z<=bc，所围成区域为曲边三角形

bc<z<=ad，围城曲边梯形

ad<z<=cd，围城曲边五边形

z>cd, F(z)=1 

最后f(z)=F'(z)

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