设随机变量X,Y相互独立,且服从[0,1]上的均匀分布,求X+Y的概率密度.

Question

设随机变量X,Y相互独立,且都服从[0,1]上均匀分布,求X+Y的概率密度
服从[0,1]上的均匀分布
所以X概率密度是1，Y概率密度是1
因为X,Y相互独立
所以P(XY)=P(X)P(Y)
设Z=X+Y
当0<Z<1时
积分∫∫1 dxdy 0<y<z-x,0<x<z
=z^2/2
求导得z
当1<Z<2时
积分∫∫1 dxdy 积分域0<y<1,0<x<z-1与0<y<z-x,z-1<x<1
=z-1+z-z^2/2
求导得2-z
所以概率密度是
f(Z)=2-z 1<z<2
z 0<z<1
0 其他
我想问的是"积分∫∫1 dxdy 积分域0<y<1,0<x<z-1与0<y<z-x,z-1<x<1 "是怎么积出来的,过程要详细.谢谢!

Answer 1

00.0055862。

事实上，这道题由于x,y服从（0，1）的均匀分布，联合概率密度为1，所以根本不需要去求积分，直接算面积就可以了。左边矩形面积为(z-1)*1=z-1，右边梯形面积为(1/2)*(z-1+1)*(2-z)=z-z^2/2，所以面积和就是z-1+z-z^2/2。

X,Y相互独立，且都服从[0，1]上的均匀分布 --> f(x,y)=1.

Z=X+Y

F(z)=P(x+y<z) = ∫∫f(x,y)dxdy = ∫∫dxdy =直线x=0,x=1,y=0,y=1,y=-x+z所围面积

当0<z<1时, F(z) = (z^2)/2

当1<z<2时, F(z) = (z^2/2)-(z-1)^2

Z=X+Y的概率密度

f(z) = dF(z)/dz=z      0<z<1;  f(z) = 2-z     1<z<2。

扩展资料：

由于随机变量X的取值 只取决于概率密度函数的积分，所以概率密度函数在个别点上的取值并不会影响随机变量的表现。

更准确来说，如果一个函数和X的概率密度函数取值不同的点只有有限个、可数无限个或者相对于整个实数轴来说测度为0（是一个零测集），那么这个函数也可以是X的概率密度函数。

连续型的随机变量取值在任意一点的概率都是0。作为推论，连续型随机变量在区间上取值的概率与这个区间是开区间还是闭区间无关。要注意的是，概率P{x=a}=0，但{X=a}并不是不可能事件。

参考资料来源：百度百科-概率密度函数

Answer 2

00.0055862追问

谢谢您,但我不是要确切数字而是怎么积出来等于z-1+z-z^2/2

Answer 3

不太清楚你的意思，是不知道积分区域怎么出来的？还是不知道怎么积分？

其实就是左右两块区域求积分和，见下图

追问

不好意思没说清楚,是不知道怎么积分的

追答

就是图中黑色区域，左边矩形和右边梯形的积分和。
事实上，这道题由于x,y服从（0，1）的均匀分布，联合概率密度为1，所以根本不需要去求积分，直接算面积就可以了。左边矩形面积为(z-1)*1=z-1，右边梯形面积为(1/2)*(z-1+1)*(2-z)=z-z^2/2，所以面积和就是z-1+z-z^2/2

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