帮忙做下 cosx-cos3x=sin2x

Question

1) cosx-cos3x=sin2x的通解
2)(x + k/x^m)^12 按x的解幂序的展式, 第9项是7920 求实数k和m的值
3) 证明( 开方( (1-cosA)/(1+cosA) ) )=cscA-cotA

一定要列式哦
麻烦了

Answer 1

1）由sin2x=2sinxcosx和cos3x=4（cosx)^3-3cosx。带入原式
cosx-4(cosx)^3-3cos=2sinxcosx 当x=π/2+kπ时，cosx=0，左式恒成立
当x≠π/2+kπ时，等式两边同时除以cosx。整理后有-4（cosx）^2-2=2sinx
因为cosx与sinx的平方和等于，带入上式有-4（sinx）^2+2sinx+6=0.解这个等式得sinx=-1和sinx=3/2（舍去）所以sinx=-1，x=-π/2+2kπ。
2）该式展开项第九项为：C（8，12）x^4(k/x^m)^8因为这一项中没有x，所以分子分母中的x正好约掉，即4=8m，得m=1/2.C（8，12）=495，带入第九项得
495*k^8=7920 k^8=16 得k=根号2。
3）右边=cscA-cotA=(1-cosA)/sinA=根号((1-cosA)^2/(sinA)^2)
=根号（(1-cosA)^2/(1-(cosA)^2))=根号（（1-cosA)^2/((1+cosA)(1-cosA)))
=根号（（1-cosA）/（1+cosA）)=左边 证毕

Answer 2

cosx-cos3x=-2sin2x*sinx
所以-2sin2xsinx=sin2x
所以sin2x=0或sinx=-1/2
2x=kπ或x=2kπ-π/6,2kπ-5π/6
所以x=kπ/2,x=2kπ-π/6,x=2kπ-5π/6

按x降幂
第9项是C(12)8*x^4*[k*x^(-m)]^8=495*k^8*x^(4-8m)=7920
则x的次数是0
所以m=1/2,
k^8=7920/495=16
k=±√2
所以k=√2,m=1/2或k=-√2,m=1/2

第三题有问题，只有当sinA>0时才成立
(1-cosA)/(1+cosA)，上下乘以(1-cosA)
=(1-cosA)²/(1-cos²A)
=(1-cosA)²/sin²A
所以左边=|1-cosA|/|sinA|
cosA<=1，所以1-cosA>=0
又sinA>0
所以左边=(1-cosA)/sinA=1/sinA-cosA/sinA=cscA-cotA=右边

Answer 3

1.原式左边=cosx-[4(cosx)^3]+3cosx
原式右边=2sinxcosx
当cosx=0时，原式成立。
x=[派/2]+k派，k为整数
当cosx不=0时，原式化为4-[4(cosx)^2]=2sinx
即：[4(sinx)^2]=2sinx
sinx=0时，原式成立。
x=k派，k为整数
sinx不=0时，原式化为2sinx=1,sinx=1/2
x=[派/6]+k派，k为整数
或：x=p[5派/6]+k派，k为整数
以上几种情况综合起来即为所求。
2.二项式定理展开：
第九项是C(12)8*x^4*[k*x^(-m)]^8=495*k^8*x^(4-8m)=7920，为常数项。
所以m=1/2,
且有k^8=7920/495=16
k=±√2
所以k=+-√2,m=1/2

3.右边=根号[(1-cosA)^/sin^A]
=根号[(1-cosA)^/(1-cosA)(1+cosA)]
=根号[(1-cosA)/(1+cosA)]
=左边
所以所证成立(x^表示x的平方)

Answer 4

1.解：cosx-cos(2x+x)=sin2x
cosx+sinxsin2x-cosxcos2x=sin2x
cosx(1-cos2x)+sin2x *cosx=sin2x
cosx*2sin^2 x +sin2xcosx=sin2x
sin2x(sinx+cosx-1)=0
sin2x=0,所以2x=k兀, {x|x=(k/2)兀,k属于Z}
sinx+cox=1, sin(x+兀/4)=根号2/2，{x|x=2k兀,k属于Z}U{x|x=2k兀+兀/2,k属于Z}
综上：，{x|x=2k兀,k属于Z}U{x|x=（k/2）兀,k属于Z}