设y在0≤x≤1的最小值为M,原问题等价于2M≥1,M≥
,
二次函数y=x
2-2mx+1的图象是一条开口向上的抛的线,
①当对称轴x=m≤0时,由图象可知,x=0时,y
最小=1,这时1≥
成立;
②当对称轴x=m,0<m<1时,由图象可知x=m时,y
最小且y
最小=1-m
2,有1-m
2≥
,m
2≤
,故有0<m≤
;
③当对称轴x=m,m≥1时,由图象可知,x=1时,y
最小且y
最小=2-2m,这时有2-2m≥
,m≤
与m≥1矛盾.
综上可知,满足条件的m存在,且m的取值范围是m≤
.