已知二次型f(x1 x2 x3)=x1^2+ax2^2+x3^2+2bx1x3+2x2x3

Question

已知二次型f(x1 x2 x3)=x1^2+ax2^2+x3^2+2bx1x3+2x2x3经正交变换【x1 x2 x3]=p[y1 y2 y3]化成了标准f=y2^2=4y3^2.求a,b的值和正交矩P

Answer 1

由已知, 二次型的矩阵 A=
1 b 1
b a 1
1 1 1
的特征值为 1,4,0
所以 1+a+1 = 1+4+0, 得 a=3
且 |A| = -(b-1)^2 = 0, 得 b=1
所以 A=
1 1 1
1 3 1
1 1 1
之后求出对应的特征向量再单位化就行了