继续关于定积分比较定理的提问

Question

你好~你用图形分析的很明了，但是我还有一个跟这个相关的问题，能不能帮我解答一下呀~之前我提问的问题是连续函数的定积分比较定理，它是另一个定理的推论，即定积分比较定理：设f(x) g(x) 在[a，b]上可积，且f(x)“小于等于”g(x)，则f(x)在a b范围内的积分“小于等于”g(x)在a b范围内的积分.
这两个定理的差别只在前提条件一个是[a，b]上可积，一个是[a，b]上连续，为什么结论就不一样呢？求解~~~~~

Answer 1

连续则一定可积，但可积却不一定连续，你的图只证了连续函数，不连续的没有证(若是有无穷多间断点，你连图也画不了。。。)自然后者难证，数学很严谨，改变一个前提条件，证法当然会变。

Answer 2

首先说明一下，前面用图形只是帮助理解，严格的数学证明可以通过划分积分区域来证明。而且定积分几何意义为曲边梯形面积的前提就是f(x)在[a,b]上连续

即根据f(x)和g(x)在[a,b]上连续，f(x)小于等于g(x)知，至少有一点x1∈[a,b]，f(x)<g(x)。那么由极限保号性，在x1的邻域[c,d]上，f(x)<g(x)
于是
∫<c,d>f(x)dx<∫<c,d>g(x)dx
∴∫<a,b>f(x)dx=∫<a,c>f(x)dx+∫<c,d>f(x)dx+∫<d,b>f(x)dx <∫<a,c>g(x)dx+∫<c,d>g(x)dx+∫<d,b>g(x)dx =∫<a,b>g(x)dx

回到可积的情形。

我们知道，若f(x)在区间[a,b]上连续，那么f(x)在[a,b]上可积
另外，
若f(x)是区间[a,b]上只有有限个间断点的有界函数，则f(x)在[a,b]上也是可积的。此时f(x)是不连续的，因此不能用几何意义来说明。

证明过程如下：

∵f(x)≤g(x)
∴g(x)-f(x)≥0
∴∫<a,b>[g(x)-f(x)]dx≥0
即∫<a,b>g(x)dx-∫<a,b>f(x)dx≥0
∴∫<a,b>g(x)dx≥∫<a,b>f(x)dx来自：求助得到的回答

Answer 3

用图形也可以分析的很清楚,g(x)永远在f(x)上方(或者叠在一起),这样g(x)与X轴围成图形的面积自然要大于或者等于f(x)与X轴围成图形的面积了
这里用到的是定积分的几何意义.