关于连续函数定积分的比较定理问题！！急求数学高人解答!!

Question

为什么连续函数比较定理中的条件是 在闭区间连续，且f(x)小于等于g(x)，结论就为f(x)在区间内的积分“小于”g(x)在区间内的积分，求知道，为什么结论不是“小于且等于”呢？何解啊！大侠来帮忙~~~~~~~~~~~

Answer 1

从函数图像来看会比较容易理解

我们知道，函数定积分∫<a,b>f(x)dx的几何意义是介于x轴、函数f(x)的图形及两条曲线x=a, x=b之间的各部分面积的代数和

因为f(x)小于等于g(x)，所以f(x)的图像在g(x)图像的下方（其中有若干点重合，但不是所有点全部重合。否则f(x)=g(x).）

所以x轴、函数f(x)的图形及x=a, x=b围成的面积 < x轴、函数g(x)的图形及x=a, x=b围成的面积
即∫<a,b>f(x)dx<∫<a,b>g(x)dx

Answer 2

小于了，怎么能且等于呢？对于你说的问题，前提一定是 f(x)与g(x)非同一函数，即存在某点x1使得f(x1)不等于g(x1)，按照定理此时f(x1)小于g(x1)，总的积分当然就小了。

Answer 3

构造函数g(x)=f(x)-f(x+a) 则g(1)+g(a)=f(1)-f(a)+f(a)-f(8a)=f(1)-f(8a)=1 所以g(1)g(a)=g(1)(-g(1))=-(g(1))^8<=1 因此，存在x1,(x1在[1,a]),使g(x1)=1，即f(x1)=f(x1+a)

Answer 4

提问者：我有些不懂你的意思，Hi baidu 聊天吧。