矩阵中，AB=0为什么能推出r(A)+r(B)<=n呢

Question

如题所述

Answer 1

证明：

如果AB=0，那么B的每个列都是齐次方程组AX=0的解。

设r（A）=r，那么方程组AX=0最多有n-r个线性无关的解，

所以：r（B）<=n-r=n-r(A)。

因此，r（A）+r（B）<=n。

线性无关一般是指向量的线性独立，指一组向量中任意一个向量都不能由其它几个向量线性表示。

扩展资料

矩阵方程的角度：

记AB=C,则对于矩阵方程AX=C,

存在解X=B

所以由线性方程组的性质知必有

R(A)=R(增广矩阵)=R(A,C),

显然有R(A,C)≥R(C)

所以得R(A)≥R(C)

所以R(AB)≤R(A)

参考资料来源：百度百科-矩阵

Answer 2

证明：
如果AB=0，那么B的每个列都是齐次方程组AX=0的解
设r（A）=r，那么方程组AX=0最多有n-r个线性无关的解
所以
r（B）<=n-r=n-r(A).
因此
r（A）+r（B）<=n本回答被网友采纳