怎样判断偏导数是否存在

Question

如题所述

Answer 1

用偏导数的定义来验证:

1、偏导数是通过极限来定义的，按定义写出某点(x0,y0)处偏导数的极限表达式。

2、（以对x的偏导数为例）lim[f(x,y0)-f(x0,y0)]/(x-x0)（x趋于x0）。

3、然后用极限的相关知识来考察这个极限是否存在。

4、这极限是否存在和该点处偏导数是否存在是一致的,因此证明偏导数存在的任务就转化为证明极限存在。

扩展资料：

求证偏导数存在要注意：

这类问题一般都是证明在某点处偏导数存在，注意这时切记不能使用求导公式，以一元函数为例：这是因为用求导公式计算出来的导函数f'(x)往往含有间断点，在间断点x0处f'(x)无意义。

比如：fy(x,y)是在点(x,y)关于y的偏导数，应当注意，这里x是看作常数的，如果你要求(0,0)处关于y的偏导数，应该先把x固定成x=0，即先求出fy(0,y)=[4*(y^3)*e^(y^2)]/(y^2)=4*y*e^(y^2)，再以y=0代入，得到fy(0,0)=4*0*1=0。

参考资料来源：百度百科-偏导数

Answer 2

这类问题一般都是证明在某点处偏导数存在,注意这时切记不能使用求导公式,以一元函数为例,这是因为用求导公式计算出来的导函数f'(x)往往含有间断点,在间断点x0处f'(x)无意义,但这不意味着f'(x0)一定不存在,例如f(x)=(x^2)sin(1/x) x≠0
=0 x=0
可以验证在可去间断点x=0处,导函数f'(x)无意义,但f'(0)=0存在.
正确方法是用偏导数的定义来验证,偏导数是通过极限来定义的,按定义写出某点(x0,y0)处偏导数的极限表达式（以对x的偏导数为例）lim[f(x,y0)-f(x0,y0)]/(x-x0)（x趋于x0）,然后用极限的相关知识来考察这个极限是否存在,这极限是否存在和该点处偏导数是否存在是一致的,因此证明偏导数存在的任务就转化为证明极限存在,这可以通过以下两种途径1,根据极限运算法则求出该极限,只要能求出极限的具体值,就等于证明了极限存在,而不用再费事去证明了；2,如果极限不容易求出,可以考虑用极限存在的准则去证明（例如夹逼准则）极限存在.（如果证明偏导数不存在则用极限的相关理论证明该极限不存在即可）
多说一点,在确定某点处偏导数存在的基础上,往往还要讨论偏导数在该点是否连续,这时才是用求导公式的时候,用求导公式计算出导函数f'x(x,y),这是一个关于x和y的二元函数,求(x0,y0)处二元函数f'x(x,y)的极限,如果这个极限存在且等于该点处的偏导数值,则偏导数连续,否则不连续.

Answer 3

直接从定义验证
可微偏导必存在