已知数列{an}满足a1=0且an＋1=2an＋n (1) 求a2,a3,并证明an＋2－an＋1=2(an＋1－an)＋1. (2)设bn=an＋1－an

Question

如题所述

Answer 1

a(n+1)=2a(n)+n
a(n+1)+(n+1) = 2(a(n)+n)+1
设b(n)=a(n)+n，
则b(n+1)=2b(n)+1 (1)
b(n+1)-b(n)=b(n)+1
又b(n+1)-b(n)=a(n+1)-a(n)+1
故a(n+1)-a(n)=b(n) (2)
a(n+2)-a(n+1)=b(n+1) (3)
所以由(1),(2),(3)得，a(n+2)-a(n+1)=2(a(n+1)-a(n))+1

更进一步，可以求出a(n)
b(n+1)+1 = 2(b(n)+1)
b(n)+1=(b(1)+1) 2^(n-1)=2^n
b(n)=2^n-1
所以 a(n)=b(n)-n=2^n-1-n

Answer 2

。。。