请教高人讲解曲线积分和曲面积分（第一类第二类都要）

Question

希望讲的能通俗易懂一点，实在是不想看公式了，看的要吐了。希望能让我理解解决这一号题目的方法。或者将相应的好的讲解发到我的邮箱[email protected]。视频、讲义都可以，不过要通俗易懂的。好的东西我就加分。不甚感谢。

Answer 1

哥们给你都说了吧：
第一类曲线积分，可以通过将ds转化为dx或dt变成定积分来做，但是单纯的第一类曲线积分和二重积分没有关系，只有通过转化为第二类曲线积分后，要是满足格林公式或者斯托科斯公式条件，可以用公式转化为简单的曲面积分，再将曲面积分投影到坐标面上转化为二重积分来计算，这是第一类曲线积分和二重积分关系，但是第一类曲线积分和三重积分么有任何关系……
第一类曲面积分，可以通过公式变换，将dS转化为dxdy，直接转化为二重积分来做，但是和三重积分没有任何关系，只有通过转化为第二类曲面积分，满足了高斯公式条件，才能用高斯公式转化为三重积分来计算
曲线积分与定积分，曲面积分与二重积分的区别：曲面积分、曲线积分都是给定了特定的曲线或者曲面的方程形式，意思是在曲线上或曲面上进行积分的，而不是像普通的二重积分和定积分那样直接在xyz坐标上进行积分，所以要将第一类曲线积分，第一类曲面积分通过给定的方程形式变换成在xyz坐标进行积分，另外既然给定了曲线或曲面方程，就可以根据方程把一个量表示成其他的两个量的关系，因为是在给定的曲线或曲面方程上进行积分的，所以要满足给定的曲线或曲面的方程，所以各个量之间可以代换的，这个普通的定积分和二重积分不能这么做的……
第一类曲线积分：对线段的曲线积分，有积分顺序，下限永远小于上限……求解时米有第二类曲线积分简单，需要运用公式将线段微元ds通过给定的曲线方程形式表示成x与y的形式，进行积分，这个公式书里面有的，就是对参数求导，然后再表示成平分和的根式……
第二类曲线积分：对坐标的曲线积分，没有积分顺序，意思是积分上下限可以颠倒了……
第一类曲线积分和第二类曲线积分的关系：可以用余弦进行代换，余弦值指的是线段的切向量，这个书本里面的，我就不写了
第一类曲面积分：对面积的曲面积分，求解时要通过给定的曲面方程形式，转化成x与y的形式，这个公式书里面也有的，就是求偏导吧？然后表示成平方和根式的形式
第二类曲面积分：对坐标的曲线积分，这个简单一些，好好看看就可以了
两类曲面积分的联系：可以用余弦代换，但是这个余弦是曲面的法向量
下面给出第一类曲线积分和第一类曲面积分的联系，方便你记忆：都是要转化成在xyz坐标面上的积分，都是平方和的根式形式，但是第一类曲线积分是对参数求导，第一类曲面积分是求偏导，为何都是平方和的根式形式？原因是在微段或微面上用直线代替曲线，相当于正方体求对角线，你想想是不是，肯定要出现平方和的根式，你好好看看推导过程……
第二类曲线积分与第二类曲面积分的关系：
第二类曲线积分如果封闭的话，可以用格林公式或斯托克斯公式化简
第二类曲面积分如果封闭的话，可以用高斯公式进行化简
这些东西很有趣的，你要学会对应的记忆啊……
格林公式研究的是把平面第二类曲线积分转化为二重积分来做，但是要注意正方向的选取，以及平面单连通和平面复连通，有时需要取辅助线构成封闭曲线的，但是要计算辅助曲线的曲线积分，因为此时的格林公式值是由两条曲线叠加后产生的，这个很重要，因为积分与路径无关都要涉及到平面复连通和单连通的计算……

Answer 2

我来总结:
第一类曲线积分
1、最重要的是变ds=√ dt，
2、还要确定参方 x(t) y(t) 可能有z(t),
3、这样以后,就变成了一个以t为参数的一重积分
4、它这样一转化之后，还是一重积分（暨只有一个∫）
第二类曲线积分
法一:
1、也要确定参方 x(t) y(t) z(t),
2、这样后,变成了一个以t为参数的一重积分
3、它这样一转化之后，也还是一重积（暨只有一个∫）
法二:
a、当满足格林公式(dx,dy)条件(闭曲线、闭曲线围成区域内每一点都连续)时，将它转化成了二重积分
b、当满足斯托克斯(dx,dy,dz)公式（闭曲线、闭曲线围成区域内每一点都连续）时，将它转化成了第二类曲面积分，该曲面积分的正向符合右手规则
第一类曲面积分
1、最重要的是确定dS=dxdy/cosr
2、然后要把z用z(x,y)代替
3、这样以后,就变成了一个以x,y为参数的二重积分
4、这样之后还是一个二重积分(有∫∫)，变量是x，y ，
第二类曲面积分
法一:
1、也要把z用z(x,y)代替
2、这样以后,就变成了一个以x,y为参数的二重积分
3、这样之后还是一个二重积分(有∫∫)，变量是x，y
法二:
当满足高斯公式 (闭曲面 、闭曲面所围空间内任一点都连续 )时，可将它转化成三重积分 (dxdydz)