求大神通俗解释第一二类曲线积分和曲面积分的区别(是一二类的区别)

Question

求大神通俗解释第一二类曲线积分和曲面积分的区别(是一二类的区别)看看就头疼

Answer 1

积分有两大要素：范围和乘积。都是函数（包括矢量函数）与微元素的乘积，在某个范围内之和。从这个角度去看各种积分就很清楚了。
第一类线积分实质上就是定积分在路径（范围）方面的推广，被积函数与微元素之间依然是标量乘积，只是把x轴从直线任意扭曲成曲线。
第二类线积分实质上就是定积分在路径和乘积两方面都做了推广，不仅路径从直线的x轴变弯了，乘积也由1维标量乘积推广到多维的矢量内积。
所以第二类线积分就是第一类线积分从1维乘积推广到多维内积。
曲面积分与曲线积分情况十分类似，只差微元素不同：线积分的微元素是1维的，而面积分的微元素是2维的。下面的描述几乎就是重复了：
第一类面积分实质上就是二重积分在区域（范围）方面的推广，被积函数与微元素之间依然是标量乘积，只是把xy平面任意扭曲成曲面。
第二类面积分实质上就是二重积分在区域和乘积两方面都做了推广，不仅区域从xy平面的变弯了，乘积也由1维标量乘积推广到多维的矢量内积。
所以第二类面积分就是第一类面积分从1维乘积推广到多维内积。
所以的二类积分的矢量内积可以变成多个第一类积分的标量积来计算。
当然上面所说的积分都是基于平坦的欧氏空间里定义的函数算子，爱因斯坦已经证明宇宙现实中的空间都不是平坦的，所以流形上的微积分才是更普遍的函数算子。