抛物线y²=2px（p>0)的焦点作一条直线交抛物线于A（x1,y1）B（x2,y2）两点。求证：y1y2=-p²

Question

如题所述

Answer 1

解由题知抛物线的交点为（p/2,0)
设过焦点的直线的斜率为k
当k不存在时，ab垂直x轴，即a(p/2,p），b(p/2,-p）
即x1x2=p/2×p/2=p^2/4
当k存在时
故焦点的直线为y=k（x-p/2）
由y=k（x-p/2）
与y^2=2px
联立消y得
k^2(x^2-px+p^2/4)=2px
即k^2x^2-(k^2p-2p）x+k^2p^2/4=0
由根与系数的关系知
x1x2=c/a=（k^2p^2/4）/k^2=p^2/4
故综上知x1x2=p^2/4
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Answer 2

焦点(p/2,0)
若垂直x轴，是x=p/2
则y²=p²y1=-p,y2=p
y1y2=-p²
若有斜率
y=k(x-p/2)
x=y/k+p/2
所以y²=2py/k+p²
y²-2py/k-p²=0
y1y2=-p²
综上
y1y2=-p²