已知A(x1,y1)B(x2,y2)(x1≠x2)是抛物线y²=2px(p>0)上两点,F是抛物线的焦点

Question

若想x1=5，求AF1 ,,,若AF+BF=10,求AB的中点到y轴的距离

Answer 1

焦点在x轴上，可设抛物线方程为：y² = 2px。可以判断焦点在(p/2,0)点。 设A点坐标(x1,y1),B点坐标(x2,y2)，设AB斜率是k，线段AB的垂直平分线斜率是k'
则：kk' = -1，所以：
(y1-y2)/(x1-x2) * [(y1+y2)/2 - 0 ]/[(x1+x2)/2 - 6] = -1
(y1² - y2²) / [x1² - x2² -12(x1 - x2)] = -1
代入y1²=2px1,y2²=2px2，化简：
2p/(x1 + x2 - 12) = -1
x1 + x2 = 12 - 2p ---<1>
AF²=(x1 - p/2)² + y1² = (x1 - p/2)² + 2px1 = (x1 + p/2)²
AF = x1 + p/2
同理：
BF = x2 + p/2
AF + BF = x1 + x2 + p ---<2>
联立<1>和<2>:
12 - 2p + p = 8
p=4
综上：
抛物线方程：
y² = 8x

Answer 2

AF=|x1-(-p/2)|=x+(p/2)
AF+BF=x1+p/2+x2+p/2=10
xp=(x1+x2)/2=10-p