e^xdx上限为0下限为1的定积分怎么求，用定义法

Question

如题所述

Answer 1

对[0，1]n等分，则◇xi=1/n
取§i=小区间[x(i-1)，xi]的右端点xi=i/n
则该定积分
=Lim（n→∞）∑〔i=1到n〕f((§i)◇xi
=Lim（n→∞）∑〔i=1到n〕【e^(i/n)】/n
=Lim（n→∞）(1/n)∑〔i=1到n〕e^(i/n)★
因为∑〔i=1到n〕e^(i/n)
=e^(1/n)+e^(2/n)+…+e^(n/n)
用等比数列前n项和的公式得到
=e^(1/n)*（1-e）/（1-e^(1/n)）☆
把☆代入★得到
式★=Lim（n→∞）(1/n)e^(1/n)*（1-e）/（1-e^(1/n)）
=Lim（n→∞）e^(1/n)*（e-1）
=e-1。
其中用等价无穷小e^x-1~x（x→0）
得到(1/n)（e^(1/n)-1）→1。