绝对值不等式的解法

Question

如题所述

Answer 1

绝对值不等式是一类形如 |x| < a 或 |x| >
a 的不等式，其中 a 是实数，x 是未知数。解决绝对值不等式的关键是确定绝对值的取值范围，然后根据绝对值的定义进行分类讨论。以下将介绍两种常见的绝对值不等式的解法。1. 等效变形法

对于形如 |x| < a 的绝对值不等式，我们可以将其等效变形为 -a < x < a。也就是说，当 x 的取值在这个区间内时，|x| < a 成立。因此，求解这类不等式就转化为了求解该区间的解集。

                                   

举例来说，我们要求解 |2x + 1| < 5 的解集。根据等效变形法，我们将其变形为 -5 < 2x + 1 < 5。然后，将其化简为 -3 < x
< 2. 因此，解集为 (-3, 2)。

2. 分类讨论法

对于形如 |x| > a 的绝对值不等式，我们可以进行分类讨论。当 x > 0 时，|x| = x；当 x < 0 时，|x| = -x。因此，我们可以将原不等式分成两个不等式来讨论，分别为 x > a 和 x < -a。然后，求解这两个不等式的解集，并将它们合并起来，即为所求的解集。

举例来说，我们要求解 |x - 2| > 3 的解集。按照分类讨论法，我们将其分为两个不等式：

                                   

- x - 2 > 3，即 x > 5；

- x - 2 < -3，即 x < -1。

因此，解集为 (-∞, -1) ∪ (5, ∞)。

绝对值不等式的求解方法并不难，但要注意判断绝对值的取值范围，选择合适的解法，并合理使用等式变形和分类讨论等数学技巧。掌握这些技巧，可以更加轻松地解决各类绝对值不等式题目。