关于高二抛物线的中点弦公式的推导,大家来帮帮我啊

Question

抛物线C：x^2=2py上，过给定点P=(α,β)的中点弦所在直线方程为：py-αx=pβ-α^2。
这个公式时怎么推导来的啊。
急求。谢谢各位了

Answer 1

这个定点P一定得在抛物线开口内部才行，也就是说一定要满足条件 α^2-2pβ<0 ，否则虽然能用公式写出类似的直线方程，但它已不是以 P 为中点的弦所在直线的方程了。

推导过程：点差法。
设弦的端点为 A（x1，y1），B（x2，y2），
则 x1^2=2py1 ，x2^2=2py2 ，
相减得 (x2+x1)(x2-x1)=2p(y2-y1) ，
由于 AB 的中点为 P ，因此 x1+x2=2α ，
代入上式可解得 k=(y2-y1)/(x2-x1)=α/p ，
因此所求直线方程为 y-β=α/p*(x-α) ，化简得 py-αx=pβ-α^2 。