(1)已知f(x)是二次函数，若f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x)的解析式。

Question

(1)已知f(x)是二次函数，若f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x)的解析式。
(2)已知3f(x)+5f(1/x)=2/x+1,求函数f(x)的解析式。
要详细过程谢谢

Answer 1

（1）设f（x）=ax^2+bx+c
f(x+1)=a(x+1)^2+b(x+1)+c=ax^2+(2a+b)x+a+b+c
f(x)+x+1=ax^2+(b+1)x+c+1=f(x+1)
对比上述两式得
2a+b=b+1
a+b+c=c+1
求上两式得a=1/2,b=1/2
f(x)=1/2x^2+1/2x+c
f(0)=c=0
所以f(x)=1/2x^2+1/2x
(2) 将式中的x替换成1/x
得3f(1/x)+5f(x)=2x+1
将上式乘以5/3和原式相减消去f(1/x)
得3f(x）-25/3*f(x)=2/x+1-10/3*x-5/3
化简得f（x）=1/8(5x-3/x+1)

Answer 2

(1)
f(0) = 0, f(x) = ax² + bx
f(x+ 1) = a(x + 1)² + b(x + 1) = ax² + (2a + b)x + a + b = f(x) + x + 1 = ax² + (b + 1)x + 1
比较系数:
2a + b = b + 1, a = 1/2
a + b = 1, b = 1 - a = 1/2
f(x) = (x² + x)/2

(2)
3f(x) + 5f(1/x) = 2/x + 1 (i)
用1/x取代x:
3f(1/x) + 5f(x) = 2/(1/x) + 1 = 2x + 1 (ii)
5*(ii) - 3*(i):
16f(x) = 10x - 6/x + 2
f(x) = 5x/8 - 3/(8x) + 1/8本回答被提问者和网友采纳