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Question

设随机变量X与Y相互独立，且均服从于参数为p的0-1分布B(1,p)(0<p<1)，令
1，X+Y为偶数
Z=
0， X+Y为奇数
（0,1那儿是个大括号……）
1、求X+Y的概率分布
2、求Z的概率分布
3、 证明：若X与C相互独立，则p=0.5

Answer 1

1、X+Y可取0,1,2三种值。
由于X与Y独立，所以P{X=x,Y=y}=P{X=x}*P{Y=y}。从而：
P{X+Y=0}=P{X=0,Y=0}=P{X=0}*P{Y=0}=(1-p)^2;
P{X+Y=1}=P{X=1,Y=0}+P{X=0,Y=1}=P{X=1}*P{Y=0}+P{X=0}*P{Y=1}=2*(1-p)*p;
P{X+Y=2}=P{X=1,Y=1}=P{X=1}*P{Y=1}=p^2;

2、由1分析，可知Z的分布如下：
P{Z=1}=P{X+Y=0}+P{X+Y=2}=(1-p)^2+p^2=1-2*p+2*p^2;
P{Z=0}=P{X+Y=1}=2*(1-p)*p=2*p-2*p^2

3、Z与X相互独立，则需令P{X=x,Z=z}=P{X=x}*P{Z=z}
所以：P{X=0,Z=0}=P{X=0}*P{Z=0}
即P{X=0}*P{Y=1}=P{X=0}*P{Z=0} 即(1-p)*p=(1-p)*2*(1-p)*p
解得p=0.5（注：其他3个条件所得结果与此相同，不再列写）
得证。