概率论与数理统计的随机变量联合概率分布问题

Question

如题所述

Answer 1

好的，我来帮你解析一下这道题。
这道题是关于随机变量的联合概率分布的。题目给出了两个随机变量 X 和 Y 的概率分布表。
第一步：求 P(X = 0, Y = 0)
根据题目给出的概率分布表，P(X = 0) = 1/2，P(Y = 0) = 1/4。因此，P(X = 0, Y = 0) = P(X = 0) * P(Y = 0) = (1/2) * (1/4) = 1/8。
第二步：求 P(X = 0, Y = -1)
根据题目给出的概率分布表，P(X = 0) = 1/2，P(Y = -1) = 1/8。因此，P(X = 0, Y = -1) = P(X = 0) * P(Y = -1) = (1/2) * (1/8) = 1/16。
第三步：求 P(XY = 0)
根据题目给出的概率分布表，P(X = 0, Y = 0) = 1/8，P(X = 1, Y = -1) = 1/8。因此，P(XY = 0) = P(X = 0, Y = 0) + P(X = 1, Y = -1) = (1/8) + (1/8) = 1/4。
第四步：求 P(X 和 Y 独立)
根据题目的定义，X 和 Y 独立，当且仅当 P(X = x, Y = y) = P(X = x) * P(Y = y) 成立，对所有 x 和 y。
根据题目给出的概率分布表，P(X = 0, Y = 0) = P(X = 0) * P(Y = 0)。因此，X 和 Y 独立的充分必要条件是 P(X = 0, Y = -1) = P(X = 0) * P(Y = -1)。
根据题目给出的概率分布表，P(X = 0, Y = -1) = 1/16，P(X = 0) * P(Y = -1) = (1/2) * (1/8) = 1/16。因此，X 和 Y 是独立的。
详细过程如下：
**第一步：求 P(X = 0, Y = 0)**
P(X = 0, Y = 0) = P(X = 0) * P(Y = 0)
= (1/2) * (1/4)
= 1/8
**第二步：求 P(X = 0, Y = -1)**
P(X = 0, Y = -1) = P(X = 0) * P(Y = -1)
= (1/2) * (1/8)
= 1/16
**第三步：求 P(XY = 0)**
P(XY = 0) = P(X = 0, Y = 0) + P(X = 1, Y = -1)
= (1/8) + (1/8)
= 1/4
**第四步：求 P(X 和 Y 独立)**
P(X = 0, Y = -1) = P(X = 0) * P(Y = -1)
= (1/2) * (1/8)
= 1/16
因此，X 和 Y 是独立的。

希望我的解析能够帮助你理解这道题。