证明：对于可导函数f(x),|f(x)|可导的充要条件是，f(x)所有零点的导数都为0。

Question

如题所述

Answer 1

如图。

Answer 2

必要性(1)设g(x)=|f(x)|=f(x),f(x)>0
=f(x)=0
=-f(x).f(x)<0
因为g(x)可导，则有在使得f(x)=0的点t处，有f'(t)=-f'(t) 即f'(t)=0
充分性(2)由题得对于任一t.使得f(t)=0 ,且f'(t)=0
则g(x)=|f(x)|=f(x),f(x)>0
=f(x)=0
=-f(x).f(x)<0
可知道g(x)在t处可到
又因为f(x)可导 则-f(x)也可导
从而g(x)可导追问

关键细节没写清楚。

追答

哪里，你说吧。。。我来解释。 使得f(x)=0的那些点，就是这个g(x)的分段点 要是可导
不妨设t为他们的其中任一个分段点 那么g(x)在x>t 和x<t 两边 一边是f(x) 一边是-f(x) 因为在t处是可导的 那么 f'(t)= -f'(t) 里面就是这个意思啊

追问

那你就得先证，在零点的附近，f(x)在零点两侧必然异号。
零点两侧，是需要一些技术手段来处理的。这其实才是关键。
你有没有考虑过零点集可能有聚点？

追答

f(x)是可导的，那么对于g(x) g(x)=|f(x)|=f(x),f(x)>0
=f(x)=0
=-f(x).f(x)<0
假设f(x)=0 有解，对于任意t满足f(t)=0 对于t点处， 若对于任意的ε （t-ε ，t）和（t,t+ε ）处不变号的话，不妨设都是大于0的话， 那么在t的小领域内，g(x)=f(x) x≠t
=0 x=t
由于g(x)是可导的 那么 g'(t+0)=g'(t-0)=g'(t) 这样的话f'(t)=0
假设变号的话和上面一样的

其实不管是不是变号 根据 g'(t+0)=g'(t-0)=g'(t) 都能的出来

还有你说的如果没有解 那我们知道的如果p 则q 如果p是假命题， q 一定就是真的 既然没有零解 那么那个结论必然正确 所以这种情况不用考虑 数学的逻辑定义决定了它

追问

你其实完全没明白我在说什么。如果有疑问，可以hi我，不要再在这里答了。

Answer 3

充分条件直接证，必要条件用反证法。这是高数题还是数分题？

Answer 4

条件1、函数在该点的去心邻域内有定义。
2、函数在该点处的左、右导数都存在
3、左导数＝右导数