微积分的魔力在于揭示几何空间的隐秘维度，它像一把无形的尺子，丈量着曲线下的面积。让我们一起探索三种特殊的面积求解方式：
想象一下，当我们要测量阴影部分的面积，就像沿着[0,3]的函数曲线绘制一条看不见的边界。这个区域的面积，即该函数在这一区间上的积分，可以分解为两个独立的阴影区域之和：
对于图中的情形，阴影面积等于 ∫0^3 f(x) dx = (∫0^1 f(x) dx) + (∫1^2 f(x) dx)。关键在于理解哪些部分需要保留原函数，哪些需要取相反数。
当阴影区域被翻转时，我们不再是求有向面积，而是函数值的绝对值下的面积。例如，对于图中的第二个例子，绝对值符号的运用至关重要：
对于区间 [0,1]，函数保持不变；而在 [1,2]，我们需要加上负号，即 ∫0^1 f(x) dx + ∫1^2 (-f(x)) dx。识别翻转区间是这类问题的关键。
当两条曲线 y = f(x) 和 y = g(x) 交叉时，我们要找到两者的“高差”。例如，如图所示，面积 I 可以表示为 ∫0^2 (f(x) - g(x)) dx。不过，如果区间变化，可能需要引入绝对值来处理曲线位置的转换。
总结公式为：
这需要我们准确判断哪条曲线在上方，哪条在下方。
最后，触及曲线与 y 轴的交界，我们面临的是曲线与 y=√x 之间的面积计算。常规方法是通过构建辅助图形，如正方形减去 √x 的积分，或是利用反函数的性质，将问题转化为不同定义域和值域的积分：
对于 y=√x 的曲线，我们可能需要先写出反函数的积分，比如 ∫0^4 (4 - y^2) dy。这里的图形倒置意味着我们要对原函数的值域进行调整，以适应新的定义域。