已知函数f(x)满足：①定义域为R；②对任意的x∈R，有f(x+2)=2f(x)；③当x∈[-1,

Question

已知函数f(x)满足：①定义域为R；②对任意的x∈R，有f(x+2)=2f(x)；③当x∈[-1,1]时f(x)=-｜x｜+1，则方程f(x)=以5为底｜x｜对数在区间[-10,10]内的解个数是？

Answer 1

当x∈[-1,1]时f(x)=-｜x｜+1，

对任意的x∈R，有f(x+2)=2f(x)

那么f(x)=2f(x-2) 

设x∈[1,3],那么x-2∈[-1,1]

∴f(x)=2f(x-2)=2(-|x-2|+1)=-2|x-2|+2

 

当x∈[3,5]时，x-2∈[1,3],

  f(x)=2f(x-2)=2(-2|x-4|+2)=-4|x-4|+4

 

 同理：

当x∈[5,7]时，f(x)=-8|x-6|+8

当x∈[7,9]时，f(x)=-16|x-8|+16

当x∈[9,11]时，f(x)=-32|x-10|+32

 

x∈[-3,-1]时，x+2∈[-1,1]

  f(x)=1/2f(x+2)=-1/2|x+2|+1/2

x∈[-5,-3]时，f(x)=-1/4|x+4|+1/4

x∈[-7,-5]时，f(x)=-1/8|x+6|+1/8

x∈[-9,-7]时，f(x)=-1/16|x+8|+1/16

x∈[-11,-9]时，f(x)=-1/32|x+10|+1/32

画出分段函数f(x)的图像和y=log(5)|x|的图像

观察交点个数在[-10,10]内为12

那么方程f(x)=log(5)|x|有12个解