已知函数f(x)=x^2+|x-a|,a为实数。(1)当a=1时,解不等式f(x)<3 （2）当x

Question

已知函数f(x)=x^2+|x-a|,a为实数。(1)当a=1时,解不等式f(x)<3 （2）当x属于[1，2]时，求f(x)的最小值

Answer 1

(1)
a=1
f(x)=x^2+|x-1|
解不等式x^2+|x-1|<3

情况1：x≥1
x^2+(x-1)<3
x^2+x-4<0
解得：-(1+√17)/2<x<(√17-1)/2
此时1≤x<(√17-1)/2

情况2：x<1
x^2-(x-1)<3
x^2-x-2<0
(x-2)(x+1)<0
解得：-1<x<2
此时-1<x<1

综合情况1、2可得：-1<x<(√17-1)/2

(2)
1≤x≤2

情况1：a≤1
此时x-a≥0恒成立
f(x)=x^2+(x-a)
=x^2+x-a
=(x+1/2)^2-(a+1/4)
f(x)在[1,2]上递增，最小值为f(1)=2-a

情况2：a≥2
此时x-a≤0恒成立
f(x)=x^2-(x-a)
=x^2-x+a
=(x-1/2)^2+(a-1/4)
f(x)在[1,2]上递增，最小值为f(1)=a

情况3：1<a<2
情况3-1：1≤x<a
f(x)=x^2-(x-a)
=x^2-x+a
=(x-1/2)^2+(a-1/4)
f(x)在[1,a)上递增，最小值为f(1)=a
情况3-2：a≤x≤2
f(x)=x^2+(x-a)
=x^2+x-a
=(x+1/2)^2-(a+1/4)
f(x)在[a,2]上递增，最小值为f(a)=a^2
综合情况3-1、3-2，f(x)在[1,2]上的最小值为f(1)=a

综合情况1、2、3，
a≤1时，f(x)的最小值为2-a
a>1时，f(x)的最小值为a

Answer 2

1