二次型f(x1,x2,x3)=X1^2+X2^2+X3^3+2aX1X2+2X1X3+2bX2x3

二次型f(x1,x2,x3)=X1^2+X2^2+X3^3+2aX1X2+2X1X3+2bX2x3
1,a ，b满足什么条件，此二次型秩为2
2.在1的条件下，判定此二次型是否为正定二次型。并说明理由

推荐答案 2011-05-30

解: 二次型的矩阵A =
1 a 1
a 1 b
1 b 1

r2-ar1, r3-r1
1 a 1
0 1-a^2 b-a
0 b-a 0

因为二次型的秩为2, 所以 a=b≠±1.

此时 |A| = 0, 所以A不是正定矩阵 (A是正定矩阵的充要条件是所以顺序主子式都大于零)
所以f 不是正定二次型.

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第1个回答 2011-05-30

二次型矩阵为
[1 a 1]
A= [a 1 b]
[1 b 1]
|A|=0
A中一行减三行，-(a-b)|a b| = 0 , a^2=b^2, a=±b
|1 1|
当a=b=1时，A的秩为1，故当a=±b且a,b不同时为1时此二次型秩为2

在1的条件下，此二次型不是正定二次型，因为它含有特征值0

更正：1问结果应为a=b且≠1，上面计算失误....

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