已知直线l：kx－y+1+2k=0（k∈R）

Question

若直线L交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，O为坐标系原点，△AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线L的方程

Answer 1

1、令k＝1得x－y＋1＋2＝0，即x－y＝－3
令k＝－1得－x－y＋1－2＝0，即x＋y＝－1
解得x＝－2，y＝1
∴直线l过定点（－2，1）

2、∵kx-y+1+2k=0，∴y＝kx＋1＋2k
若直线不经过第四象限，则
k＞0
1＋2k≥0
解得k＞0

3、在kx-y+1+2k=0中，分别令x＝0，y＝0
得A（－1/k－2，0），B（0，1＋2k）
△AOB的面积S＝1/2|－1/k－2|(1＋2k)
＝1/2(1/k＋2)(1＋2k)
＝1/2(1/k＋4k)＋2≥1/2×2√(1/k·4k)＋2＝4
∴S的最小值为4
当1/k＝4k，即k＝±1/2时等号成立
当k＝1/2时，kx-y+1+2k＝1/2x－y＋2＝0
直线l方程为1/2x－y＋2＝0
当k＝－1/2时，kx-y+1+2k＝－1/2x－y＋1＋2×(－1/2)＝0
直线l方程为－1/2x－y＝0

Answer 2

已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R)
（1）令K=0；
则方程为-y+1=0；
证得方程l必过定点
y=1；
(2)若直线l不经过第四象限.y=1是定点，则直线与x轴的交点小于0，
再令y=0;
kx+1+2k=0;
x=-(1+2k）/k;
又x<0;
-(1+2k）/k<0;
(1+2k）*k>0;
k<-1/2;或k>0;