已知直线l：kx-y+1+2k=0（k∈R）．（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围

Question

已知直线l：kx-y+1+2k=0（k∈R）．（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．

Answer 1

（1）直线l的方程可化为y=k（x+2）+1，
故无论k取何值，直线l总过定点（-2，1）．
（2）直线l的方程可化为y=kx+2k+1，则直线l在y轴上的截距为2k+1，
要使直线l不经过第四象限，则

k≥0 1+2k≥0

，
解得k的取值范围是k≥0．

（3）依题意，直线l在x轴上的截距为-

1+2k

k

，在y轴上的截距为1+2k，
∴A（-

1+2k

k

，0），B（0，1+2k），
又-

1+2k

k

＜0且1+2k＞0，
∴k＞0，故S=

1

2

|OA||OB|=

1

2

×

1+2k

k

（1+2k）
=

1

2

（4k+

1

k

+4）≥

1

2

（4+4）=4，
当且仅当4k=

1

k

，即k=

1

2

时，取等号，
故S的最小值为4，此时直线l的方程为x-2y+4=0．