已知数列{an}满足a1,a2减a1,a3减a2,…，an减an减1是首项为1，公比为3分之1的等比数列。1.求an的通项公式，

Question

已知数列{an}满足a1,a2减a1,a3减a2,…，an减an减1是首项为1，公比为3分之1的等比数列。1.求an的通项公式，2.若bn等于（2n减1）an,求{bn}的前n项和Sn

Answer 1

a(n)-a(n-1)=(1/3)^(n-1)
a(n-1)-a(n-2)=(1/3)^(n-2)
……
a3-a2=（1/3）^2
a2-a1=1/3 将这n-1个式子相加
an-a1=1/3+(1/3)^2+……+(1/3)^(n-1)=[1/3*(1-(1/3)^(n-1))]/(1-1/3)=2[1-(1/3)^(n-1)]
an=2[1-(1/3)^(n-1)]+1=3-2*(1/3)^(n-1)

bn=(2n-1)*[3-2*(1/3)^(n-1)]
=6n-3-[(4n-2)*(1/3)^(n-1)] 6n-3……等差数列 [(4n-2)*(1/3)^(n-1)]……差比数列
Sn=3n^2-[15-(2n-35)*(1/3)^n]

Answer 2

1.an-a(n-1)=3^(n-1)
a(n-1)-a(n-2)=3^(n-2)
…………
a3-a2=3^(3-1)=3^2
a2-a1=3^(2-1)=3
a1=1
an=3^(n-1)+3^(n-2)+……+3^2+3+1
=1/2(3^n-1)
2.bn=(2n-1)an=(n-1/2)(3^n-1)
Sn=1/2{(3-1)+3(3^2-1)+……+(2n-1)(3^n-1)}
=1/2{[1+3*3^2+……+(2n-1)3^n-[1+3+……+(2n-1)]}
set:S1n= 1*3+3*3^2+……+(2n-1)3^n,
S2n= 1+3+……+(2n-1)
3S1n= 1*3^2+3*3^3+……+(2n-3)3^n+(2n-1)3^(n+1)
3S1n-S1n=-1*3-2*3^2-2*3^3-……-2*3^n+(2n-1)3^(n+1)
=(2n-1)3^(n+1)-3-2[3^2+3^3+……+3^n]
=(2n-1)3^(n+1)-3+3-3^n
=(2n-1)3^(n+1)-3^n
==>S1n=1/2{(2n-1)3^(n+1)-3^n} =1/2(2n-4/3)3^(n+1)
S2n=n^2+2n
==>Sn=(n/2-1/3)3^(n+1)-1/2n^2-n

Answer 3

1.a1=1,
a2-a1=1/3,
……
an-a<n-1>=1/3^(n-1),
累加得an=1+1/3+……+1/3^(n-1)=(1-1/3^n)/(1-1/3)=(3/2)(1-1/3^n).
2.bn=(2n-1)an=(3/2)[(2n-1)-(2n-1)/3^n],
设Tn=1/3+3/3^2+5/3^3+……+（2n-1)/3^n,则
Tn/3=........1/3^2+3/3^3+.......+(2n-3)/3^n+(2n-1)/3^(n+1),
相减得（2/3)Tn=1/3+2(1/3^2+1/3^3+……+1/3^n)-(2n-1)/3^(n+1)
=1/3+2[1/9-1/3^(n+1)]/(1-1/3)-(2n-1)/3^(n+1)
=2/3-(2/3)(n+1)/3^n,
∴Tn=1-(n+1)/3^n,
∴Sn=(3/2)[n^2-1+(n+1)/3^n].

Answer 4

如图所示