已知数列{an}满足a1,a2减a1,a3减a2,…，an减an减1是首项为1，公比为3分之1的等比数列。1.求an的通项公式，

Question

已知数列{an}满足a1,a2减a1,a3减a2,…，an减an减1是首项为1，公比为3分之1的等比数列。1.求an的通项公式，2.若bn等于（2n减1）an,求{bn}的前n项和Sn

Answer 1

1.
由已知得：an-a(n-1)=(1/3)^(n-1)
利用累加法可得：an=a1+(a2-a1)+……+( an-a(n-1))
=1+1/3+(1/3)² +……+(1/3)^(n-1)
=[1-(1/3)^n]/(1-1/3)=3/2[1-(1/3)^n]

2.
bn=(2n-1) •3/2[1-(1/3)^n] =3(2n-1)/2-3(2n-1)/2•(1/3)^n.
分两部分求和：

第一部分：
{3(2n-1)/2}的前n项和是等差数列求和：n(3/2+3(2n-1)/2)/2=3n²/2.

第二部分：
{3/2• (2n-1)•(1/3)^n }，设其前n项和为Tn,使用错位相减法求和。
Tn=3/2[1•1/3+3•(1/3)^2+5•(1/3)^3+……+(2n-1)•(1/3)^n]
1/3•Tn= 3/2[1•(1/3)^2+3•(1/3)^3+5•(1/3)^4+……+(2n-3)•(1/3)^n+(2n-1)•(1/3)^(n+1)]
两式相减得：
2/3•Tn=3/2[1/3+2•(1/3)^2+2•(1/3)^3+……+2•(1/3)^n-(2n-1)•(1/3)^(n+1) ]
2/3•Tn=3/2[1/3+2•(1/3)^2•[1-(1/3)^(n-1)/(1-1/3) -(2n-1)•(1/3)^(n+1) ]
2/3•Tn=3/2[1/3+1/3-(1/3)^n -(2n-1)•(1/3)^(n+1) ]
Tn=9/4[2/3-(1/3)^n -(2n-1)•(1/3)^(n+1) ]

∴Sn=3n²/2- Tn=3n²/2-9/4[2/3-(1/3)^n -(2n-1)•(1/3)^(n+1) ].