如何用等价无穷小求极限呢？

Question

如题所述

Answer 1

等价无穷小的公式：

1、sinx~x、tanx~x、arcsinx~x、arctanx~x、1-cosx~(1/2)*（x^2）~secx-1。

2、（a^x）-1~x*lna [a^x-1)/x~lna]。

3、（e^x）-1~x、ln(1+x)~x。

4、(1+Bx)^a-1~aBx、[(1+x)^1/n]-1~（1/n）*x、loga(1+x)~x/lna、（1+x)^a-1~ax(a≠0)。

等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法，它可以使求极限问题化繁为简。

求极限时，使用等价无穷小的条件：被代换的量，在取极限的时候极限值为0。作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。

Answer 2

等价无穷小的定义：设当x一>x0时，f(x)和g(x)均为无穷小量。若

则称f和g是等价无穷小量，记作：f(x)~g(x)(x一>ⅹ0)。

求极限时，使用等价无穷小的条件：
1.被代换的量，在取极限的时候极限值为0；
2.被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换。

等价无穷小一般只能在乘除中替换，在加减中替换有时会出错（加减时可以整体代换，不一定能随意单独代换或分别代换）

注：可直接等价替换的类型

常见等价无穷小：

当x一>0时，

sinx～x，tanx～x，arctanx～x，arcsinx～x，a^x-1～xlna(a>0，a≠1)，ln(1+x)～x，(1+x)^α-1～αx，e^x-1～x

注：上式可通过泰勒展开式推导出来。