第1个回答 2020-05-23
1.三角形:
内接,就是三个顶点都在圆上.由于圆过三个顶点,所以圆心到三个顶点的距离都为R.我们假设三角形为ABC,圆心为O,则OA=OB=OC=R,由于ABC是正三角形(用边边边定理,我们很容易证得△ABO、△BCO、△CAO全等，从面得到AO、BO、CO分别是它们对应角的平分线），延长AO交BC于E,则AE垂直于BC（等腰△的顶角平分线平分且垂直底边），即OE就是边心距。因为∠OBE=30（∠ABE的一半），所以
OE=R/2，BE=√3R/2。则△ABC的面积S=BC*AE/2
=2*BE*（OE+OA）/2
=（2*√3R/2）*（R/2+R）/2
=3√3R^2/4
2.正方形
我们知道,正方形对角线互相垂直、平分且相等，且对角线平分角。所以R就是正方形对角线的一半，作正方形ABCD，对角线交于O，作OE垂直于AB交于E，则OE为边心距，△AOE是角为45的直角三角形，AO是斜边，
则OE=OA*√2/2=√2/2R。
正方形ABCD的面积是对角线形成的4个三角形的和，
即
S=4*（AO*BO/2）=2R^2