初中数学 相似三角形

Question

、如图，在△ABC中，已知EF‖AC，D是BC上
一点，连接AD，则△ABD与△BEF的面积相等。
求证：BE2=BD•BC。

Answer 1

EF‖AC
△ABC相似于△FBE
△FBE面积/△ABC面积=(BE/BC)^2 (相似三角形对应高的比与对应边长的比相等）
△ABD面积/△ABC面积=BD/BC (同高，不同底）
△FBE面积=△ABD面积
(BE/BC)^2=BD/BC
BE^2=BD•BC 其中^2表示平方

Answer 2

由EF‖AC, 得BE/BC=BF/BA (1)
由△ABD与△BEF的面积相等，所以BA*BD=BE*BF
即BF/BA=BD/BE (2)
由（1）（2）得
BE/BC=BD/BE
即BE2=BD•BC

Answer 3

证明 过A点做AH⊥BC交BC与H点
∵EF‖AC
∴EF2/AC2=BF2/AB2=△BEF/△ABC=△ABD/△ABC
又∵△BEF/△ABC=BE2/BC2
△ABD/△ABC=（1/2BD*AH）/（1/2BC*AH）=BD/BC
∴BE2/BC2=BD/BC
∴BE2=BD•BC

Answer 4

用比值法。S△BEF/S△ABC=S△ABED/S△ABC
BE^2/BC^2=BD/BC
所以得证

Answer 5

∵EF‖AC
∴EF2/AC2=BF2/AB2=△BEF/△ABC=△ABD/△ABC
又∵△BEF/△ABC=BE2/BC2
△ABD/△ABC=（1/2BD*AH）/（1/2BC*AH）=BD/BC
∴BE2/BC2=BD/BC
∴BE^2=BD•BC

Answer 6

设△ABD的高AH，△BEF的高FG，S△ABD=S△BEF
∴BD*AH=BE*FG 即FG/AH=BD/BE
∵EF‖AC
△BEF∽△BCA
FG/AH=BE/BC
由上∵FG/AH=BE/BC=BD/BE
∵BE^2=BD*BC得证