我也刚刚复习到这，被这里给纠结了很长一段时间了
在这里跟你探讨探讨，也期待如果有更好的对比资料
能给我也共享一下
两类曲线积分分别是对弧长的积分和对坐标的积分
对弧长的积分是根据求曲线的质量引出来的
方法则是将弧长ds化成根号（1+y导的平方）*dx
说到底，弧长积分最终是将ds转变成dx或者dt的一元定积分
而对坐标的曲线积分则是根据向量F对某一段弧dr做功
向量F是一个关于x，y的二元函数，而dr则是空间的一段弧元素，可以用dx+dy表示
求w时，w=F跟r的向量积=积分号（Pdx+Qdy）
对坐标的曲线积分因为同时含有dx和dy
所以最后运算同样要转成一元定积分进行计算
可以用dx=x(t)导*dt，dy=y(t)导*dt或者dx=dx，dy=y导*dx
两类曲线积分的计算最后都是转成一元定积分的计算
至于格林公式，则是将平面与XOY或者XOZ或者YOZ上的某个闭合的区域的二重积分转成对闭合区域的边界线的曲线积分
条件就是区域必须是闭合的区域
个人认为格林公式的更有意义的应用应该是后面的关于积分路径无关和求全微分
积分路径无关则主要可以简化比方说给定两点，然后求某一个曲线积分可以选择先沿着x轴走然后沿着y轴走来简化计算，另外就是求全微分时也是先在区域D内任意找一个点，然后按照先x轴后y轴的路径，终点是（x，y）。
个人感觉两类曲线积分以及格林公式还是相对比较简单的。
对于曲面积分，也是分为两类，一类是对面积元素ds积分，一类是对坐标积分
对面积元素积分也是由求一个曲面的质量引出
计算方法则主要是根据ds=根号（1+fx^2+fy^2)dxdy，然后将曲面积分转成直角坐标的二重积分
对坐标的曲面积分则是由一个什么什么通量引出，设流速是一个空间向量v，流过某一个面积当方向的ds时，其通量=向量v与向量ds的向量积。ds的则是利用三个坐标面yoz，xoz，xoy与面积元素ds的法向量之间的夹角的余弦来表示，即ds*cosa=dydz，ds*cosb=dzdx，ds*cosr=dxdy，最后，将速度向量v与有相面积元素ds的向量积表示为v向量跟ds的法向量的向量积，得到一个对坐标面进行积分的曲面积分。（这里感觉表述很有问题，可能是个人理解还不够深入）
这里还有一个散度，其实散度很从数学角度很好求
向量A的散度divA=dP/dx+dQ/dy+dR/z。但是其物理意义还是很难更深的体会。
然后就是高斯公式
高斯公式的引出其实跟牛顿莱布尼兹公式和格林公式相类似
牛顿莱布尼兹公式是用两个常数表示定积分，格林公式则是用曲线积分表示一个二重积分，高斯公式则是用一个曲面积分来表示一个三重积分。从表达效果来看，好像每个公式都有优简的作用。（个人理解是如此，也可以帮助你对比的去理解记忆）
高斯公式的应用条件就是必须是一个闭合的域。如果域不是闭合的则需要补全。个人感觉高斯公式的大部分应用都是将一些曲面积分化成三重积分计算，如果将三重积分化成曲面积分的话由于曲面很多，计算起来更麻烦
最后一个就是斯托克斯公式了。斯托克斯公式是格林公式的升级版，格林公式的应用范围只是基于平面区域，而斯托克斯公式则将应用范围扩展到了三维空间。这个虽然是这么理解，但是在那个矩阵算子里面，什么时候用dydz、dzdx、dxdy还是用（cosa、cosb、cosr)*ds，我一直没想明白。如果你搞明白了，有个题目也想跟你探讨探讨。
最后最后就是一个旋度了
对于向量场A的旋度rot（A），其实就是应用那个矩阵算子，数学计算很简单的，
只是对于其物理意义，我无法很深的去理解。
打这么多，不知道能不能帮上你，就当我自己重新复习了一遍吧。
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