最近看了许多傅里叶的东西，有了一定的体会与了解，也姑且做以总结，可能有纰漏或瑕疵，还请见谅。
预备知识：联系周期信号的
傅里叶级数、采样定理、卷积定理、变量替换、正交基……
（1）首先从联系连续周期信号的三角型傅里叶级数说起（FS）：，其中
上式可以转换为：
其中：
（2）傅里叶级数的指数形式（FS）
欧拉公式：
将上述欧拉公式代入到（1）中的三角型傅里叶级数中，得到傅里叶级数的指数形式：
（一）
其中Fn=（an-j*bn）/2 （式子2）
由上式以及傅里叶级数的三角形式可得：
Fn表示傅里叶级数的系数，对应频域的各幅度，由（一）展开式可得，连续
周期函数对应的频谱是非周期离散的。
（3）连续非周期信号（FT）
当连续周期信号的周期 T 趋近于无穷大的时候，连续周期信号就变成了连续非周期信号。
当周期 T 趋近于无穷大是，相邻谱线的间隔趋近于
无穷小，从而信号的频谱密集成连续频谱，同时，各频率分量的幅度也都趋近于无穷小。为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念： ，称F（jw）为频谱密度函数。
（二）
（三）
（二）称为f(t)的傅里叶变换，（三）为函数F(jw)的傅里叶逆变换。
F(jw)称为f(t)的频谱密度函数或频谱密度。
（4）离散非周期序列(DTFT)
对连续非周期信号f(t)进行等间隔采样，得离散非周期序列：
时域采样对应于频域的周期延拓，由卷积定理可推导如下：
进而可得离散非周期信号的傅里叶变换（即离散时间傅里叶变换DTFT）为：
可见X(e^(jw))是w的连续周期函数，周期为2pi，上式称为离散时间傅里叶变换（DTFT），下式称为离散时间傅里叶逆变换（IDTFT）。
（4）离散周期序列（DFS）
要由离散非周期序列推导离散周期序列需要分两种情况：
1.如果离散非周期序列的长度有限，为N，此时可以直接对离散非周期序列的频谱进行等间隔取样（满足频域采样定理），可以利用卷积定理推导得到（类似离散非周期序列中的推导）离散周期序列：
进而可以推导出离散傅里叶级数（DFS）
2.如果离散非周期序列的长度无限，需要对其加窗截取，相当于乘以一个门序列，然后按照 1 中的方法进行处理即可。
由以上推导出离散周期序列的离散傅里叶级数（DFS）：
此时，时域、频域均是周期为N的周期序列。
上式称为周期序列的离散傅里叶级数（DFS）
下式表示离散傅里叶级数展开式（逆变换），DFS表示求离散傅里叶系数。
（5）有限长离散非周期序列（离散傅里叶变换DFT）
先对有限长序列x(n)周期延拓，得到离散周期序列，然后对其进行DFS得到离散的周期序列X(K),然后对其取主值序列就得到了x(n)对应的DFT。
上式称为离散傅里叶变换（DFT），其快速算法（FFT）
下式称为离散傅里叶逆变换（IDFT），其快速算法（IFFT）
（6）
拉普拉斯变换 由于有些函数的傅里叶变换不存在，此时可以对其乘以一个衰减因子e^(-△t)，△是常数。然后对其进行傅里叶变换。
此过程就可以由傅里叶变换推导到拉普拉斯变换（实际傅里叶变换是拉普拉斯变换的特殊情况，即虚轴上的拉普拉斯变换就对于傅里叶变换）。
同样，如果从0开始积分则对应单边拉普拉斯变换。
注意收敛域。
（7）z变换
类似拉普拉斯变换，由于有些序列的离散时间傅里叶变换（DTFT）不存在，此时就引出了z变换。
序列在单位圆上的z变换就对应离散时间傅里叶变换（DTFT），
序列在单位圆上的z变换的N点等间隔采样就对应了离散傅里叶变换（DFT）
注：1.至于各种变换的性质，如移位性质，尺度变换，对称性，卷积定理，微分，积分，只要根据定义，利用变量替换等都很容易求得。
2.某一域的连续 对应 另一域的非周期
某一域的离散 对应 另一域的周期
3.时域采样定理：fs>=2fm
频域采样定理：ts>=2tm