请教数学大神，无界有界的问题

Question

请教数学大神，无界有界的问题如图，红色部分是什么意思，大神解释一下吧，我不是很懂。谢谢🙏

Answer 1

连续函数在闭区间内肯定是有界的，不连续函数那就不一定在闭区间内有界，
比如例题七，本来 y=1/x 在 x=0 处无意义，其定义域至少是半开的，但是例题中特别定义了 x=0 时 y=0，这样虽然补救成了一个闭区间的定义域，但是函数是不连续的，所以函数仍然可能无界，
所以函数是否有界，在初等函数中都要看是否连续，当然连续这个条件是苛刻的，是有界函数的充分不必要条件，
比如 y=x-[x] 有的写成 {x}，这个函数在实数域上是不连续的，但是函数有界，

Answer 2

举列子，比如分段函数：
f(x) = 0 , x=0 ;
f(x) = 1/x , x>0 ;
显然，f(x) 在 【0,1】上为无界函数 。
这就是说无界函数的可能性。。
注：在闭区间上无界函数肯定不是连续函数。追问

这个函数在x趋近于0时，y趋近于正无穷，这样fx不就不是有穷值，不就不符合书上的描述了吗，我这样理解对吗？

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Answer 3

例7 函数是定义在闭区间[0,a]上的，对于闭区间上的每一个点，函数值都是有穷值，比如：x=0时，y=0；x=0.1时，y=1/0.1=10；x=0.00001时，y=1/0.00001=100000；无论x取多么小的一个接近于0的正数，函数值都是一个有穷尽的确定数值。这说明：对于闭区间上的每一个点，函数值都是有穷值。
但是，当x无限趋近于0时，函数会趋近于无穷大。说明函数在闭区间上是无界的。
综上，定义在闭区间[0,a]上的函数y=1/x (0<x<=a) y=0 (x=0)，对于闭区间上的每一个点，函数值都是有穷值；当x无限趋近于0时，函数会趋近于无穷大，函数在闭区间上是无界的。追问

可以解释一下什么是有穷尽的确定数值吗，我不太能理解？趋向正无穷还是确定的吗？

追答

无论x多么小的一个确定的正数，y总有一个确定的数值，尽管这个数值很大，但不是无穷大。

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