按照严格的极限定义证明如下
证明
x趋于x0时f(x)极限存在等价于,对于任意给出的一个正数ε,总存在一个正数δ,使得当x满足
|x-x0|<δ时,|f(x)-a|<ε会成立
左极限存在即总存在一个正数δ,使得当x满足
|x-x0|<δ时,f(x)-a<ε
右极限存在即总存在一个正数δ,使得当x满足
|x-x0|<δ时,a-f(x)<ε
所以左右极限都存在时,总存在一个正数δ,使得当x满足
|x-x0|<δ时
-ε
x0时极限存在的充要条件是左极限,右极限均存在并相等
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