利用定积分的定义计算lim

Question

利用定积分定义求解lim(n→∞){n*[1/(n+1)^2+1/(n+2)^2+…1/(n+n)^2]}

Answer 1

把1/n放进求和号里面，整个极限刚好是"根号下(1+x)"在[0, 1]上的定积分（把[0,1]区间n等分、每个小区间取右端点做成的积分和的极限）。

所以，原极限=根号下(1+x)从0到1的定积分=积分号下“根号（1+x）”d(1+x)=2/3 (1+x)^(3/2)上限1下限0=2/3 [2^(3/2)-1]。

例如：

^（1）原式=∫(0,1) √(1+x)dx

=(2/3)*(1+x)^(3/2)|du(0,1)

=(2/3)*2^(3/2)-2/3

（2）原式=lim(n->∞) (1/n)*[(1/n)^p+(2/n)^p+...+(n/n)^p]

=∫(0,1) x^pdx

=[1/(p+1)]*x^(p+1)|(0,1)

=1/(p+1)

扩展资料：

定义中ε的作用在于衡量数列通项与常数a的接近程度。ε越小，表示接近得越近；而正数ε可以任意地变小，说明xn与常数a可以接近到任何不断地靠近的程度。但是，尽管ε有其任意性，但一经给出，就被暂时地确定下来，以便靠它用函数规律来求出N；

又因为ε是任意小的正数，所以ε/2 、3ε 、ε2等也都在任意小的正数范围，因此可用它们的数值近似代替ε。同时，正由于ε是任意小的正数，我们可以限定ε小于一个某一个确定的正数。

参考资料来源：百度百科-极限

Answer 2

lim[n→+∞] n * [1/(n + 1)² + 1/(n + 2)² + ...+ 1/(n + n)²]
= lim[n→+∞] n * {1/[n(1 + 1/n)]² + 1/[n(1 + 2/n)]² + ...+ 1/[n(1 + n/n)]²}
= lim[n→+∞] n * (1/n²)[1/(1 + 1/n)² + 1/(1 + 2/n)² + ...+ 1/(1 + n/n)²]
= lim[n→+∞] 1/n * [1/(1 + 1/n)² + 1/(1 + 2/n)² + ...+ 1/(1 + n/n)²]
= lim[n→+∞] 1/n * Σ(k=1→n) 1/(1 + k/n)²
= lim[n→+∞] (2 - 1)/n * Σ(k=1→n) 1/[1 + k(2 - 1)/n]²
= ∫[1→2] 1/x² dx
= - 1/x |[1→2]
= - (1/2 - 1)
= 1/2
这里的Δx = (2 - 1)/n = 1/n
区间是1 + 1/n,1 + 2/n,1 + 3/n,...,1 + k/n,...,1 + n/n