概率统计，求助！若(X,Y)服从二元正态分布N(-1,5,2,3,-0.5)？

Question

全文为“若(X,Y)服从二元正态分布N(-1,5,2,3,-0.5),试求Z=2X-3Y的数学期望E[Z]与方差Var[Z].”
关键是这个“(X,Y)服从二元正态分布N(-1,5,2,3,-0.5)”要怎么处理？

Answer 1

由题设条件，有E(X)=-1、D(X)=2，E(Y)=5、D(Y)=3，(X,Y)的相关系数ρXY=-0.5。
∴E(Z)=E(2X-3Y)=2E(X)-3E(Y)=2*(-1)-3*(5)=-17。
D(Z)=D(2X-3Y)=4D(X)+9D(Y)+2COV(2X,-3Y)=4D(X)+9D(Y)-12COV(X,Y)。而，COV(X,Y)=(ρXY)[D(X)D(Y)]^(1/2)=(-1/2)√6。
∴D(Z)=4*2+9*3-12*(-1/2)√6=35+6√6。
供参考。

Answer 2

记作（X，Y）~N（μ1，μ2，σ1²，σ2²，ρ）。也就是说Ex=-1,Ey=5.σx²=2.σy²=3.相关系数ρ=-0.5.
有定理：aX+bY服从N(au1+bu2,a^2σ1+b^2σ2+2abpσ1σ2).直接套进去就可以。