解：1大题(1)小题，D={(x,y)丨0≤x≤1，x≤y≤2x}。∴原式=∫(0,1)dx∫(x,2x)(x²-y²)dy=∫(0,1)(-4x³/3)dx=-1/3。(2)小题，D={(x,y)丨-1≤x≤0，-x-1≤y≤x+1}∪{(x,y)丨0≤x≤1，x-1≤y≤1-x}。∴原式=∫(-1,0)dx∫(-x-1,x+1)(y-x)dy+∫(0,1)dx∫(x-1,1-x)(y+x)dy=…=4∫(0,1)x(1-x)dx= 2/3。(3)小题，D={(x,y)丨0≤x≤1，0≤y≤x}。∴原式=∫(0,1)xdx∫(0,x)sin(y/x)dy=(1-cos1) ∫(0,1)xdx=(1-cos1)/2。(4)小题，D={(x,y)丨0≤x≤y，π/2≤y≤π}。∴原式=∫(π/2,π)dy∫(0,y) sinydx/y=∫(π/2,π)siny=1。(5)小题，D={(x,y)丨-1≤x≤1，x²≤y≤1}∪{(x,y)丨-1≤x≤1，0≤y≤x²}。∴原式=∫(-1,1)dx∫(x²,1)(y-x²)dy+∫(-1,1)dx∫(0,x²)(x²-y)dy=∫(-1,1)(1/2-x²+x^4) dx=11/15。
2大题(1)小题， 设x=ρcosθ，y=ρsinθ。∴0≤θ≤2π，1≤ρ≤2。 ∴原式=∫(0,2π)dθ∫(1,2) ρdρ /(1+ρ²)=πln(5/2)。(2)小题， 设x=ρcosθ，y=ρsinθ。∴0≤θ≤2π，0≤ρ≤a。 ∴原式=∫(0,2π)丨cosθsinθ丨dθ∫(0,a)ρ³dρ=(a^4/8)∫(0,2π)丨sin2θ丨dθ=(a^4)/2。(3)小题， 设x=ρcosθ，y=ρsinθ。∴0≤θ≤π/4，1≤ρ≤2。 ∴原式=∫(0,π/4)arctan(tanθ)dθ∫(1,2)ρdρ=(3/2)∫(0,π/4) arctan(tanθ)dθ。令t=tanθ，原式=(3/2)∫(0,1)arctantdt/(1+t²)=3π²/16。
供参考。追问
2大题(1)小题， 设x=ρcosθ，y=ρsinθ。∴0≤θ≤2π，1≤ρ≤2。 ∴原式=∫(0,2π)dθ∫(1,2) ρdρ /(1+ρ²)=πln(5/2)。(2)小题， 设x=ρcosθ，y=ρsinθ。∴0≤θ≤2π，0≤ρ≤a。 ∴原式=∫(0,2π)丨cosθsinθ丨dθ∫(0,a)ρ³dρ=(a^4/8)∫(0,2π)丨sin2θ丨dθ=(a^4)/2。(3)小题， 设x=ρcosθ，y=ρsinθ。∴0≤θ≤π/4，1≤ρ≤2。 ∴原式=∫(0,π/4)arctan(tanθ)dθ∫(1,2)ρdρ=(3/2)∫(0,π/4) arctan(tanθ)dθ。令t=tanθ，原式=(3/2)∫(0,1)arctantdt/(1+t²)=3π²/16。
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