矩阵相互正交是两个向量正交,两个向量正交是指它们的内积等于零,两个向量的内积是它们对应分量的乘积之和。
几何向量的概念在线性代数中经由抽象化,得到更一般的向量概念。此处向量定义为向量空间的元素,要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示,大小和方向的概念亦不一定适用。
在三维向量空间中, 两个向量的内积如果是零, 那么就说这两个向量是正交的。正交最早出现于三维空间中的向量分析。 换句话说, 两个向量正交意味着它们是相互垂直的。若向量α与β正交,则记为α⊥β。
扩展资料
几何向量的概念在线性代数中经由抽象化,得到更一般的向量概念。此处向量定义为向量空间的元素,要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示,大小和方向的概念亦不一定适用。
因此,平日阅读时需按照语境来区分文中所说的"向量"是哪一种概念。不过,依然可以找出一个向量空间的基来设置坐标系,也可以透过选取恰当的定义,在向量空间上介定范数和内积,这允许我们把抽象意义上的向量类比为具体的几何向量。
参考资料来源:百度百科-正交向量
A是一个n阶方阵,A'是A的转置,如果有 A'A=E (单位阵),即A'=A逆,我们就说A是正交矩阵。
正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵,因此总是正规矩阵。尽管我们在这里只考虑实数矩阵,这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵。正交矩阵毕竟是从内积自然引出的,对于复数的矩阵这导致了归一要求。
正交矩阵不一定是实矩阵。实正交矩阵(即该正交矩阵中所有元都是实数)可以看做是一种特殊的酉矩阵,但是存在一种复正交矩阵,复正交矩阵不是酉矩阵。
定义
如果:AA'=E(E为单位矩阵,A'表示“矩阵A的转置矩阵”。)或A′A=E,则n阶实矩阵A称为正交矩阵, 若A为正交阵,则满足以下条件:
1) AT是正交矩阵
2) (E为单位矩阵)
3) A的各行是单位向量且两两正交
4) A的各列是单位向量且两两正交
5) (Ax,Ay)=(x,y) x,y∈R
6) |A| = 1或-1
正交矩阵通常用字母Q表示。
举例:A=[r11 r12 r13;r21 r22 r23;r31 r32 r33]
则有:r11^2+r21^2+r31^2=r12^2+r22^2+r32^2=r13^2+r23^2+r33^2=1
r11*r12+r21*r22+r31*r32=0等性质
定理
1. 方阵A正交的充要条件是A的行(列) 向量组是单位正交向量组;
2. 方阵A正交的充要条件是A的n个行(列)向量是n维向量空间的一组标准正交基;
3. A是正交矩阵的充要条件是:A的行向量组两两正交且都是单位向量;
4. A的列向量组也是正交单位向量组。
5. 正交方阵是欧氏空间中标准正交基到标准正交基的过渡矩阵。
在矩阵论中,实数正交矩阵是方块矩阵Q,它的转置矩阵是它的逆矩阵,如果正交矩阵的行列式为 +1,则我们称之为特殊正交矩阵
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