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拉格朗日证明不等式
如题所述
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推荐答案 2014-11-14
存在f'(ξ)=(lnb-lna)/(b-a) ξ属于[a,b] 且f(x)=lnx所以问题变为证明1/ξ<1/√ab 即证明ξ>√ab
追问
然后呢?我证到这了
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利用
拉格朗日
中值定理
证明不等式
答:
1、对于任意的x>0,取函数f(t)=arctant,t∈[0,x].f(x)-f(0)=f'(ξ)×x,ξ∈(0,x).即arctanx=x/(1+ξ^2).1/(1+x^2)<1/(1+ξ^2)<1,所以,x/(1+x^2)<arctanx<x.2、取函数f(x)=lnx,x∈[a,b]f(b)-f(a)=f'(ξ)×(b-a).f'(ξ)...
应用
拉格朗日
中值公式
证明
下列
不等式
答:
解:由
拉格朗日
中值定理:对于函数y=lnx,x∈(a,b),必存在ξ∈(a,b)使得f'(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a)=(lnb-lna)/(b-a)成立又因为ξ∈(a,b),f'(x)=1/x,且0<a<b故f'(ξ)∈(1/b,1/a)故有:1/b<(lnb-lna)/(b-a)<1/a成立即:(b-a)/b<ln(b/a)<(b-a)/a成立...
运用
拉格朗日
中值定理
证明不等式
(lnb-lna)/(b-a)>(2a)/(a^2+b^2...
答:
证明
:构造:f(x)=lnx,其中x∈(a,b)根据
拉格朗日
中值定理:(lnb-lna)/(b-a) = f'(ξ) = 1/ξ 1/ξ > 1/b 2a/(a²+b²) ≤2a/2ab=1/b 1/ξ >1/b≥2a/(a²+b²)(lnb-lna)/(b-a) >2a/(a²+b²)拉格朗日中值定理的性质:该定理...
应用
拉格朗日
定理
证明不等式
当x≠0,e^x>1+x
答:
e^x-1-x=0 那么令f(x)=e^x-x-1 求导即f'(x)=e^x-1 于是
拉格朗日
定理得到 f(x)-f(0)=xf'(ξ)=x(e^ξ-1),ξ在0和x之间 那么x<0时,e^ξ-1<0 而x>0时,e^ξ-1>0 即x与e^ξ-1同号 所以f(x)-f(0)=x(e^ξ-1)>0 即f(x)>f(0)=0,
证明
e^x>1+x ...
拉格朗日
中值定理如何
证明不等式
的
答:
u)=e^u>1 -> (f(b)-f(0))/(b-0)>1 -> f(b)>b+1 -> e^b>b+1 (2).第二个
不等式
可由(1)得出,下面证第一个不等式:设g(x)=(1+x)*ln(1+x)对任意b>0 根据中值定理,存在v,满足01 (g(b)-g(0))/(b-0)=(1+b)*ln(1+b)/b>1 -> ln(1+b)>b/(1+b)
用
拉格朗日
中值定理
证明不等式
答:
用
拉格朗日
中值定理
证明不等式
介绍如下:利用拉格朗日中值定理证明不等式:当h>0时,h/(1+h^2)<arctan h<h。令f(x)=arctanx,则f'(x)=1/(1+x^2) 由拉格朗日中值定理有存在实数c,使得f(x)-f(x0)=f'(c)(x-x0) 再此取x0=0,则f(0)=0 应用上面的...
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